옵션 거래의 그리스 변수에 대한 심층 가이드

그리스 인

그리스어 (델타, 감마, 세타, 베가 및로)는 옵션 포지션의 위험을 식별하는 데 도움이되는 5 가지 변수입니다.

옵션에서 투자자가 직면하는 위험은 일차원 적이 지 않습니다. 변화하는 시장 상황에 대처하기 위해 투자자는 이러한 변화의 규모를 알고 있어야합니다. 변화가 크거나 작은 지 여부를 확인하기 위해 주요 또는 경미한 위험을 생성하는지 여부에 관계없이 옵션 이론 및 옵션 가격 모델은 투자자에게 옵션 포지션의 위험 특성을 식별하는 변수를 제공합니다. 이러한 변수를 그리스어라고합니다. 우리가 모니터링하는 그리스어는 델타, 감마, 세타, 베가, 로의 다섯 가지입니다.

그리스어는 Black & Scholes 공식의 파생물이기 때문에 이에 대해 좀 더 설명하는 것으로 시작하겠습니다.

블랙 & 스콜

Black, Scholes 및 Merton 공식이라고도하는 Black 및 Scholes 공식은 가격 옵션을위한 시장 표준 도구입니다. 이 공식은 현재 주가 S ₀, 옵션 T의 만기 시간, 행사가 X, 변동성 σ 및 이자율 r 의 함수로 옵션을 가격합니다.

콜 = S ⁰ N (d ₁) ^{-Xe -rT} N (d ₂)

put = Xe ^-rT N (-d ₂)-S ₀ N (-d ₁) with

여기서 N (x)는 표준 정규 분포에 대한 누적 정규 분포 함수입니다. 즉, 랜덤 변수 ~ N (0,1) (표준 정규 분포 포함)이 x보다 작을 확률입니다.

공식을 논의하기 전에 기본 가정을 설명하겠습니다. Black and Scholes 공식은 다음을 가정합니다.

• 반품은 정규 분포를 사용하는 IID (독립적이고 동일하게 분포)입니다.
• 미래의 변동성은 알려져 있고 일정합니다.
• 미래 이자율은 알려져 있고 일정하며 대출과 대출에 대해 동일합니다.
• 주식 경로는 연속적이고 지속적인 거래가 가능합니다.
• 거래 비용은 null입니다.

이론을 발전시키기 위해 우리는 이러한 모든 가정이 성립한다고 가정합니다. 이 공식은 가정 위반에 대해 매우 강력하기 때문에 시장 표준입니다.

델타

논의 될 첫 번째 그리스어는 델타입니다. 기본적으로 델타는 기초 계약의 가격 변동에 대한 옵션의 이론적 가치의 민감도입니다. 더 간단하게 말하면 델타는 기본 가치가 1 달러 상승 할 때 옵션 가치의 변화입니다. 예를 들면:

Δ _call = ∂c / ∂S = N (d ₁) 및 Δ _put = ∂p / ∂S = N (d ₁) – 1, BS 공식에서

와 같이 N (d ₁).

콜 옵션의 가치는 주가가 상승 할 때 증가하므로 콜 옵션의 델타는 양수입니다. 반대로 풋 옵션의 가치는 주가가 상승하면 감소하므로 풋 옵션의 델타는 음수입니다.

N (x)는 확률 밀도 함수이므로. 그러면 한 통화의 델타가 항상 입력되고 한 통화의 델타가 입력됩니다. 기본 레벨이 일반적으로 100 개 주식이기 때문에 옵션의 델타에 100을 곱합니다. 예를 들어 델타가 0.25 인 옵션은 델타 25로 간주됩니다. 델타가 높을수록 옵션 값의 변화는 더 유사합니다. 기본 주식에 있습니다. 델타 100 옵션의 가치는 기초 주식과 동일한 비율로 정확하게 움직입니다. 또한 미분 연산은 선형이므로 각 옵션의 델타를 계산하고 합계하여 전체 포트폴리오의 델타를 얻을 수 있습니다 (물론 외부에있을 수 있음).

옵션이 만기일에 가까워지면 화폐의 안팎으로 만기 될 확률이 변하고 정규 분포가 좁아지고 평균을 중심으로하므로 델타가 변경됩니다. 옵션이 만기일에 가까워지면 내 가격 옵션은 델타 100으로 이동하고 외 가격 옵션은 델타 0으로 이동합니다. 반면 등 가격 옵션은 델타 주변에 머물 것입니다. 50.

기본 주식 가격이 변경되면 델타도 변경됩니다. 이것은 d ₁ 이 주가의 함수이므로 예상됩니다.

통화의 델타

델타의 실질적인 해석은 옵션의 방향성 위험을 무력화하기 위해 매수하거나 매도해야하는 주식의 양인 헤지 비율입니다. BS 공식에서 우리는 또 다른 해석을 볼 수 있습니다. 대략적으로 말하면 옵션의 델타는 화폐에서 만료 될 확률이라고 말할 수 있습니다. (풋의 경우 절대 값을 사용합니다). 이 근사는 유럽 옵션에만 적용됩니다.

요약하면 델타에 대한 세 가지 해석이 있습니다.

1. 기초가 1 달러 증가 할 경우 옵션 가치의 변화.
2. 헤지 비율: 포지션의 방향성 위험을 무력화하기 위해 매수 또는 매도 할 주식 수.
3. 만기시 옵션이 내 가격이 될 가능성

→ OTM 콜: 만기일에 가까워지면 델타는 0이되는 경향이 있습니다.

→ ITM 호출: 델타는 시간이 지남에 따라 100이되는 경향이 있습니다.

풋 옵션 대 기본 가격의 델타

델타 대 변동성

변동성이 증가 (감소)함에 따라 콜 옵션의 델타는 0.50을 향하고 풋 옵션의 델타는 -0.50을 향합니다. 따라서 변동성이 증가 (감소)하면 화폐 옵션의 델타가 감소 (증가)합니다. 외화 옵션의 경우 이것은 정반대입니다.

델타 대 시간

시간이 갈수록 콜의 델타는 0.50에서 멀어지고 풋의 델타는 -0.50에서 멀어집니다. 시간이 지남에 따라 in the money 콜의 델타는 1로 이동하고 a의 델타는 0으로 이동합니다.

감마

감마는 주가의 함수로서 델타의 파생물입니다. 델타는 기초 주식의 함수로서 옵션 가치의 파생물이기 때문에 감마는 주가가 1 달러 상승 할 때 델타의 변화입니다. 다음과 같이 작성됩니다.

Γ = δ ₂ c / δS ² = N '(d ₁) / S ₀ σ √T

BS 공식에서와 같이 d ₁ 과 가우스 누적 밀도 함수의 1 차 도함수 인 N '을 사용하여 일반적인 가우스 밀도입니다.

감마 대 주가, 감마 대 시간

하나는 옵션이 ATM 일 때 감마가 최대 값에 도달한다고 종종 말합니다. 이것은 첫 번째 근사치로 정확하지만 주가가 행사가 바로 아래에있을 때 실제 최대 값에 도달합니다. 이 효과는 위 그림의 왼쪽 부분에서 100 달러에 거래되는 주식에 대해 보여줍니다. 행사가 X, 변동성 σ, 비율 r 및 만기 시간 T가 주어지면 최대 감마를 제공하는 주식 가치는 S _{max Γ} = Xe- ^{(r + 3σ ^ 2 / 2) T} 입니다.

콜과 풋의 감마 곡선은 동일합니다. 이것은 우리가 지금까지 특히 감마뿐만 아니라 일반적으로 콜과 풋에 대해 말한 것과 일치합니다.

만기 시간이 줄어들면 등 가격 옵션의 감마와 세타가 증가합니다. 만료 직전에 이러한 변수는 극적으로 커질 수 있습니다.

감마 대 시간

위의 그림에서 볼 수 있듯이 그래프는 좁아 지지만 그래프 아래의 전체 표면은 변경되지 않습니다. 결과적으로 그래프의 상단이 훨씬 높아집니다. 높은 상단은 만료 시간이 감소함에 따라 감마 및 세타의 증가를 상징합니다.

ITM, ATM 및 OTM 콜의 행동으로 인해 만기일이 다가 오면 행사가 주변에서 델타 곡선이 가파르게 될 것입니다. 따라서 시간이 지남에 따라 ATM 옵션에 대한 감마가 증가합니다. 그러나 이것은 OTM 및 ITM 옵션의 경우에는 해당되지 않습니다.

감마는 주가가 변함에 따라 델타 중립적 포트폴리오에서 얼마나 많은 돈을 벌거나 잃을 수 있는지를 결정하기 때문에 중요한 위험 매개 변수입니다. 다음 예에서는 기초 자산의 움직임에 따른 옵션 포지션의 손익을 평가할 것입니다. 우리는 2.7의 일정한 감마를 가정 할 것이므로 델타는 기초의 달러 움직임 당 2.7만큼 변경됩니다.

80 콜 옵션을 주가 79 달러에 5.52에 1000 번 매수한다고 가정합니다. 델타 중립이 되려면 51,100 주를 매도해야합니다. 주가는 다음과 같이 전개됩니다.

t =	주가
0	79
1	84
2	76
삼	79

t = 1 및 t = 2에서 델타 중립을 유지하기 위해 헤지를 재조정합니다. t = 3에서 나는 나의 포지션을 닫는다.

포지션 가치의 변화를 계산하는 세 가지 방법

포지션 가치의 변화를 계산하는 세 가지 방법이 있습니다. 첫 번째는 현금 흐름을 사용하고 두 번째는 델타를 사용하고 세 번째는 감마를 사용합니다.

1. 현금 흐름을 사용하여 이익 계산

먼저 아래 표와 같이 현금 흐름을 살펴 봅니다. 두 번째 열은 콜과 관련된 현금 흐름과 내 주식 포지션과 관련된 세 번째 열을 보여줍니다. 마지막 줄은 다음을 모두 합합니다.

결국 우리는 132,300의 이익을 얻습니다. 우리가 매수 옵션이고 따라서 감마 포지션이 길면 주가가 하락하면 주식을 매수하고 주가가 상승하면 (낮게 매도, 높게 매도) 주식을 매도해야하므로 주식이 움직이면 항상 이익을 얻습니다. 이것이 콜과 풋 모두에 유효한지 직접 확인하십시오.

2. 델타를 사용하여 이익 계산

이제 수익을 계산하는 두 번째 방법을 고려합니다. 거래는 동일하며 수익 계산 만 다릅니다. 이 방법으로 우리는 옵션과 주식 포지션을 동시에 고려합니다. 옵션에 대한 헤지로 주식을 보유하고 있으므로 전체 델타 포지션을 고려해 보겠습니다. 델타 중립을 시작합니다. 그런 다음 주식 이동은 델타를 얻습니다. (주어진 시작 및 종료 재고 값에 대해 주어진 두 델타 간의 차이를 사용하여 얻은 델타를 계산합니다. 이동 중 평균 델타를 구하려면이 값을 2로 나눈 값을 사용합니다.) 포트폴리오는 아래에 설명 된대로 델타에 따라 가치가 증가합니다.

이 경우 평균 델타 방법을 사용합니다. 즉, 우리는:

• 주식 이동 중 평균 델타 위치를 계산합니다.
• 이익을 계산하기 위해 이것을 간격으로 곱하십시오.

시간 t에서 우리는 주식을 매수 / 매도하여 델타가 다시 중립이되도록 헤지합니다.

이것을 더 자세히 살펴 보겠습니다.

• t = 0, 주식 거래 79, 델타 중립 포지션을 시작합니다. 즉, 51,100 개의 주식이 부족합니다.
• t = 1에서 주식은 84를 거래합니다. 옵션 포지션의 델타는 64.6 * 1000 (옵션에서) -51100 (주식에서)입니다. t = 0과 t = 1 사이에서 델타 위치는 0에서 13,500으로 증가했습니다. 이동에 대한 평균 델타는 (13,500 + 0) / 2 = 6750 (통화 당 6.75)이었습니다. 내 포지션의 PnL을 계산하기 위해이 델타에 주식 이동량을 곱합니다: 6570 * 5 = 33,750 달러. 이 이익을 실현하려면 다시 델타 중립이되도록 주식을 매도해야합니다.
• t = 2에서 주식 거래 76. 내 옵션 포지션의 델타는 43.0 * 1000이고 내 주식 포지션의 델타는 -64600…

감마를 사용하여 이익을 계산하는 예.

3. 감마를 사용하여 이익 계산

위의 예에서는 시작 델타 위치와 최종 델타 위치의 평균을 취하여 평균 델타 위치를 계산했습니다. 감마는 달러당 델타의 변화를 정의하므로 감마를 사용하여 달성 할 수도 있습니다.

방법을 명확히하겠습니다.

• t = 0에서 주식은 79, 델타 중립, 감마는 2,700입니다.
• t = 1에서 주식은 84를 거래합니다. 주식이 5만큼 이동 했으므로 새 델타 위치는 5 * 2,700입니다. 이동을 시작할 때 델타는 0이므로 평균 델타는 5 * 2,700 / 2입니다. 주식이 5만큼 이동하여 포트폴리오는 5 * 평균 델타 = 5 * 5 * 2,700 / 2를 얻었습니다. 델타가 다시 0이되도록 포트폴리오가 헤지됩니다. 이를 "감마 스케일링"이라고합니다. 긴 감마 포지션은 당신이 낮은 가격에 사고 높은 가격에 팔 수있게합니다.
• t = 2에서 주식은 76을 거래합니다. 이것은 8 달러 이동이고, 나의 새로운 델타 포지션은 8 * 2700…

델타 중립 포트폴리오에서 시작하는 경우 다음 일반 공식을 사용할 수 있습니다.

P / L = pricemove ^ 2 * gamma / 2